こちらすでにメールで回答しました．同じ内容を下記に貼り付けます．
パソコンとアルディーノを直接繋げばCOMナンバーが表示されますが、
テザーケーブルをつなぐとCOMナンバーが表示されず、モーターも動きません
ドライバの方も確認しましたが、改善されませんでした。
→テザーケーブルなしで青い基板のみUSBをつないで見たときに，デバイスドライバなどでCOMポートは表示されますか？
→YESならそのCOMナンバーで接続すれば良いです
→OKならテザーケーブルとバッテリのみ接続し（ドライバは外す）コントローラを接続してジョイスティック倒してみましょう．ArduinoのRxと書かれているLEDの明るさが変わっているのならArduinoとPCは通信してます．
→NOであればモジュールが死んでいる可能性がありますが，写真でLED付いているので壊れてないのではないかと思います．
はんだ付けやアルディーノの接続に問題があるかもしれないので見てもらいたいです。
→写真を見る限りは接続位置はあっているように見えます．
ジャンパがどのようなものなのかも教えてもらいたいです。
→ハンダをしたときに2箇所がくっついていることをジャンパしていると言います．（という意味の質問でいいですか？質問意図がわからないので，マニュアルのページなど指定してもらえると回答しやすいです．）
→今年の回路は意図的にジャンパ接続するものがないので，ハンダが失敗していないか確認してください．
また、コントローラーを動かしたとき、すべてのモーターが同時に動いてしまいます。
→接続が成立していて右のジョイスティックを倒せばすべてのモータが回ります．（スロットル）この挙動であれば正常です．